federico ardila . matemático
associate professor . san francisco state university
profesor adjunto . universidad de los andes . colombia


. català . español . english .

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NÚMEROS DE CATALÁN
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San Francisco, California
29 de diciembre de 2015


Ayer volví a San Francisco después de una semana desconectado del mundo. Hoy Luis, el dueño del café de la esquina, me invitó a un café, y me contó una noticia de política catalana que lleva a un problema de matemáticas; me gustaría compartirlos con ustedes. (No soy ningún experto en política catalana, y cualquier comentario, corrección, o actualización son bienvenidos. Tal vez me animo a tratar de publicar esto en alguna parte.)

1 - ¿CATALUNYA LLIURE?

Cataluña lleva décadas debatiendo si se separa de España o no, y el movimiento independentista ha tomado mucho impulso en años recientes. En un esfuerzo por seguir en el poder, el presidente Artur Mas, conservador moderado, formó una alianza con sectores de la izquierda catalana en favor de la independencia. Sin embargo, les faltaron unos pocos asientos para obtener el control del parlamento. Para obtener esos asientos, necesitan una alianza insólita la CUP, un pequeño partido político anticapitalista.

De repente la CUP se encontró en una inesperada situación de poder. Después de usar ese poder para obtener varias concesiones políticas, el partido convocó a una votación interna para decidir si apoyarán a Mas.

Antier, 3030 de las miembros de la Asamblea de la CUP (quienes, en consecuencia con sus principios feministas, usan el femenino para incluir a todos los géneros) emitieron sus votos. El resultado: 1515 a favor de Mas, 1515 en contra.

Hoy el encuentro sigue empatado. Y mientras tanto, todo Cataluña se anda preguntando (no sin cierta sospecha):
¿¡¿¡Cuál es la probabilidad de que se hubiera dado un empate?!?!

El problema es interesante, y la respuesta es mejor.

2 - EL PROBLEMA MATEMÁTICO

Supongamos que $2m$ personas votan SÍ o NO(*) en unas elecciones.
La probabilidad de que el resultado sea un empate es aproximadamemte $1/{\sqrt{m \pi}}$.
Sí, esa es una pi: $\pi = 3.14159\ldots$
En la Asamblea de la CUP hubo $2m=3030$ votantes.
La probabilidad de un empate es más o menos de 1 en 69.

¿Por qué $2m$?
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Luis me decía, muerto de la risa: "Imagínate a una miembro del CUP que se haya despertado tarde y no haya alcanzado a votar ese día. ¡Hubiera podido decidir ella sola el destino de Cataluña!" Para que un empate sea posible, el número de votantes debe ser un número par, digamos $2m$.

¿Por qué $1/\sqrt{m \pi}$?
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Podemos registrar los $2m$ votos, en el orden en que van entrando: SÍ, SÍ, NO, SÍ, NO, etc.
Cada votante tiene dos opciones (SÍ o NO), para un total de $2 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^{2m}$ votaciones posibles.

Las votaciones que dan empates son las que tienen $m$ SÍs y $m$ NOs. Corresponden a las maneras de elegir $m$ votantes (de las $2m$ posibles) que voten SÍ; esto tiene un nombre: ${2m \choose m}$ = "$2m$ combinado con $m$". Existe una fórmula para este número, que les podría explicar si tuviéramos un poquito más de tiempo: el número de empates es ${2m \choose m} = \frac{(2m)!}{m!m!}$, donde $n!$ denota al número "$n$ factorial", $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n$. Por lo tanto la probabilidad de un empate es:
\[ \frac{(\# \textrm{ de empates})}{(\# \textrm{ de votaciones posibles})} = \frac{(2m)!}{m! m! 2^{2m}} \]
En el caso de Cataluña, si uno tiene un computador a la mano, puede preguntarle cuánto da esto para $2m=3030$, y resulta que da $1.44938\ldots$%. Pero yo que andaba desconectado, dejé el teléfono en la casa, entonces me tocó en la servilleta. (Tenía que merecerme el café gratis, ¿no?)

Por suerte, Stirling descubrió una aproximación muy útil: \[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n \textrm{ es casi igual a } \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2 n \pi} \] Uno usa un poco de cálculo para demostrarla. Aunque les he mostrado esta fórmula a mis estudiantes muchas veces, nunca deja de sorprenderme. ¿Qué hacen ahí $e = 2.71828\ldots$ y $\pi = 3.14159\ldots$, los dos números favoritos de los matemáticos?

Uno puede utilizar la fórmula de Stirling y simplificar la fórmula de arriba. (Mi esposa May-Li estaba en el café conmigo y aprovechó para desempolvar su álgebra. Ustedes deberían hacerlo también, sobre todo si son de los que disfrutan arreglar su escritorio cuando está muy desordenado: botando todo lo que no necesitan y poniendo todo lo demás en su sitio correcto.) El resultado es:
\[ \frac{(\# \textrm{ de empates})}{(\# \textrm{ de votaciones posibles})} \approx \frac1{\sqrt{m \pi}}, \] y esto sí se puede estimar a mano para $2m=3030$, con un poco de esfuerzo; ${\sqrt{1515 \pi}}$ es casi igual a 69.

¿Qué tan buena es la aproximación de Stirling? Para $2m=3030$, la probabilidad real de un empate es $\approx 1.44938\ldots$% y la aproximación de Stirling es $\approx 1.44950\ldots$%. ¡Nada mal!

Sea como sea, la partida sigue en tablas hasta 2016, cuando las integrantes del CUP decidan cómo desempatarlo.

3 - (*) LA LETRA PEQUEÑA

¿Qué significa decir que la probabilidad de un empate sea 1 en 69?

No le vamos a pedir a la CUP que vote 69 veces, a ver si empatan exactamente una vez. La única manera de darle un significado a esta afirmación es elegir un modelo de cómo vota la gente. En este caso, el modelo que usamos es que cada persona decide independientemente si vota SÍ con probabilidad 1/2 o NO con probabilidad 1/2.

Obviamente este modelo no es exactamente correcto -- aun si el resultado final fueron 1515 SÍs y 1515 NOs. Pero probablemente es el modelo más acertado que permite un análisis relativamente sencillo; por eso es el más usado.

4 - NÚMEROS DE CATALAN

Permítanme un poco de licencia poética-matemática. Imaginémonos a la delegada de votación de la CUP, independentista a morir. Su decepción fue enorme cuando se dio cuenta que el resultado final fue un empate. Mientras contaba los votos uno por uno ella se había dado cuenta, con secreto optimismo, que el SÍ *nunca* iba perdiendo.

Ahora se está preguntando, ¿cuál es la probabilidad de que esto suceda?

5 - EL PROBLEMA MATEMÁTICO PARA LA INDEPENDENTISTA ACÉRRIMA

Supongamos que $2m$ personas votan SÍ o NO(*) en unas elecciones que terminan empatadas. La probabilidad de que, al ir contando los votos en orden, el SÍ nunca fuera perdiendo, es exactamente $1/(m+1)$. En el caso del voto de la CUP, donde hubo 1515 SÍs y 1515 NOs, la probabilidad es exactamente de 1 en 1516.

De hecho, el número de votaciones que terminan empatadas, y nunca favorecen al NO durante el conteo de votos, es conocido como el "número de Catalan". (Ninguna relación con Cataluña.) Si tuviéramos un poco más de tiempo, les explicaría por qué este número es igual a $\frac1{m+1}{2m \choose m}$.

Los números de Catalan fueron descubiertos por Ming'antu en Mongolia y Euler en Prusia en el siglo 18; llevan el nombre del belga Eugène Catalan. Estos números aparecen hasta en la sopa. Richard Stanley colecciona problemas cuya solución son los números de Catalan; ya tiene más de 200.

En los últimos 20 años, gracias al trabajo de expertos como Anna de Mier, Sergi Elizalde y Marc Noy -- y a nuestra hipotética delegada independentista -- los catalanes han tenido historias fascinantes que contar sobre los números de Catalan.