federico ardila . matemático
associate professor . san francisco state university
profesor adjunto . universidad de los andes . colombia


. català . español . english .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRES DE CATALÀ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

San Francisco, Califòrnia
29 de Desembre de 2015

Traducció: Antonio Murillo (Universitat Politècnica de Catalunya)

Ahir vaig tornar a San Francisco després d'una setmana desconnectat del món. Avui Luis, l'amo del cafè de la cantonada, em va convidar a un cafè, i em va explicar una notícia de política catalana que porta a un problema de matemàtiques; m'agradaria compartir-los amb vosaltres. (No sóc cap expert en política catalana, i qualsevol comentari, correcció, o actualització són benvinguts. Potser m'animo a tractar de publicar això en algun lloc.)

1 - ¿CATALUNYA LLIURE?

Catalunya porta dècades debatent si es separa d'Espanya o no, i el moviment independentista ha pres molt impuls en anys recents. En un esforç per seguir en el poder, el president Artur Mas, conservador moderat, va formar una aliança amb sectors de l'esquerra catalana a favor de la independència. No obstant això, els van faltar uns pocs escons per a obtenir el control del parlament. Per això, necessiten una aliança insòlita amb la CUP, un petit partit polític anticapitalista.

Tot d'una la CUP es va trobar en una inesperada situació de poder. Després d'usar aquest poder per obtenir diverses concessions polítiques, el partit va convocar a una votació interna per decidir si donaran suport a Mas.

Abans d'ahir, 3030 de les membres de l'Assemblea de la CUP (els qui, en conseqüència amb els seus principis feministes, fan servir el femení per incloure a tots els gèneres) van emetre els seus vots. El resultat: 1515 a favor de Mas, 1515 en contra.

Avui la trobada segueix empatat. I mentrestant, tot Catalunya es continua preguntant (no sense certa sospita):
¿¡¿¡Quina és la probabilitat que s'hagués donat un empat?!?!

El problema és interessant, i la resposta és millor.

2 - EL PROBLEMA MATEMÁTIC

Suposem que $2m$ persones voten SÍ o NO (*) en unes eleccions.
La probabilitat que el resultat sigui un empat és aproximadament $1/{\sqrt{m \pi}}$.
Sí, aquesta és una pi: $\pi = 3.14159\ldots$
A l'Assemblea de la CUP hi va haver $2m = 3030$ votants.
La probabilitat d'un empat és més o menys d'1 en 69.

¿Per qué $2m$?
. . . . . . . . . . .
Luis em deia, mentre es feia un fart de riure: "Imagina't una membre del CUP que s'hagi despertat tard i no hagi arribat a votar aquell dia. Hauria pogut decidir ella sola el destí de Catalunya!" Perquè un empat sigui possible, el nombre de votants ha de ser un nombre parell, diguem $2m$.

¿Per qué $1/\sqrt{m \pi}$?
. . . . . . . . . . . . . .
Podem registrar els $2m$ vots, en l'ordre en què van entrant: SÍ, SÍ, NO, SÍ, NO, etc.
Cada votant té dues opcions (SÍ o NO), per a un total de $2 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^{2m}$ votacions possibles.

Les votacions que donen empats són les que tenen $m$ SIs i $m$ NOs. Corresponen a les maneres de triar $m$ votants (de les $2m$ possibles) que votin SÍ; això té un nom: ${2m \choose m}$ = "$2m$ combinat amb $m$". Hi ha una fórmula per a aquest número, que els podria explicar si tinguéssim una miqueta més de temps: el nombre d'empats és ${2m \choose m} = \frac{(2m)!}{m!m!}$ on $n!$ denota al nombre "$n$ factorial", $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n$. Per tant la probabilitat d'un empat és:
\[ \frac{(\# \textrm{ d'empats})}{(\# \textrm{ de votacions possibles})} = \frac{(2m)!}{m! m! 2^{2m}} \]
En el cas de Catalunya, si un té un ordinador a la mà, pot preguntar-li quant dóna això per $2m = 3030$ i resulta {"R" >dbinom(1515,3030,0.5)}1 que dona $1.44938\ldots$%. Però jo que caminava desconnectat, vaig deixar el telèfon a casa, llavors em va tocar fer el càlcul a una tovallola de paper . (Havia de merèixer el cafè gratis, ¿no?)

Per sort, Stirling va descobrir una aproximació molt útil: \[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n \textrm{ és gairebé igual a } \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2 n \pi} \] Cal fer un poc de càlcul per demostrar-la. Encara que els he demostrat aquesta fórmula als meus estudiants moltes vegades, mai deixa de sorprendre'm. ¿Què fan aquí $e = 2.71828\ldots$ y $\pi = 3.14159\ldots$, els dos números favorits dels matemàtics?

Un pot utilitzar la fórmula de Stirling i simplificar la fórmula de dalt. (La meva dona May-Li que era prenent un cafè amb mi va aprofitar per desempolsar la seva àlgebra). Vostès haurien de fer-ho també, sobretot si són dels que gaudeixen arreglant el seu escriptori quan està molt desordenat: llençant tot el que no necessiten i posant tota la resta al seu lloc. El resultat és:
\[ \frac{(\# \textrm{ d'empats})}{(\# \textrm{ de votacions possibles})} \approx \frac1{\sqrt{m \pi}}, \] i això sí que es pot estimar a mà per $2m = 3030$, amb una mica d'esforç; ${\sqrt{1515 \pi}}$ és gairebé igual a 69.

¿Què tan bona és l'aproximació de Stirling? Per $2m=3030$, la probabilitat real d'un empat és $\approx 1.44938\ldots$% i l'aproximació de Stirling és $\approx 1.44950\ldots$%. ¡Ja s'hi val!

Sigui com sigui, la partida segueix en taules fins a 2016, quan les integrants de la CUP decideixin com desempatar-lo.

3 - (*) LA LETRA PETITA

¿Què significa dir que la probabilitat d'un empat sigui 1 a 69?

No li demanarem a la CUP que voti 69 vegades, per a veure si empaten exactament una vegada. L'única manera de donar-li un significat a aquesta afirmació és triar un model de com vota la gent. En aquest cas, el model que fem servir és que cada persona decideix independentment si vota SÍ amb probabilitat 1/2 o NO amb probabilitat 1/2.

Òbviament aquest model no és exactament correcte - fins i tot si el resultat final van ser 1515 Sis i 1515 nós. Però probablement és el model més encertat que permet un anàlisi relativament senzill; per això és el més usat.

4 - NOMBRES DE CATALAN

Permetin una mica de llicència poètica-matemàtica. Imaginem-nos la delegada de votació de la CUP, independentista a morir. La seva decepció va ser molt gran quan es va adonar que el resultat final va ser un empat. Mentre explicava els vots un per un ella s'havia adonat, amb secret optimisme, que el SÍ mai anava perdent.

Ara s'està preguntant, ¿quina és la probabilitat que això passi?

5 - EL PROBLEMA MATEMÀTIC PER A LA INDEPENDENTISTA ACÈRRIMA.

Suposem que $2m$ persones voten SÍ o NO (*) en unes eleccions que acaben empatades. La probabilitat que, en anar explicant els vots en ordre, el SÍ mai fos perdent, és exactament $\frac1{m+1}$. En el cas del vot de la CUP, on hi va haver 1515 Sis i 1515 nós, la probabilitat és exactament d'1 en 1516. De fet, el nombre de votacions que acaben empatades, i mai afavoreixen al NO durant el recompte de vots, és conegut com el "nombre de Catalan". (Cap relació amb Catalunya.) Si tinguéssim una mica més de temps, els explicaria per què aquest nombre és igual a $\frac1{m+1}{2m \choose m}$.

Els nombres de Catalan van ser descoberts per Ming'antu a Mongòlia i Euler a Prússia al segle XVIII; porten el nom del belga Eugène Catalan. Aquests nombres apareixen fins a la sopa. Richard Stanley col·lecciona problemes la solució són els números de Catalan; ja té més de 200.

En els últims 20 anys, gràcies a la feina d'experts com Anna de Mier, Sergi Elizalde i Marc Noy - i la nostra hipotètica delegada independentista - els catalans han tingut històries fascinants de comptar sobre els nombres de Catalan.

1 llicència que s'ha pres el traductor